ST-PINN

传统 PINN 通常把空间坐标与时间一起输入同一个神经网络，让模型从头学习完整的时空映射。这种通用性很强，但在长时间演化、周期变化、激波或多尺度问题中，网络也必须同时发现时间结构和空间结构，训练难度与调参成本会迅速增加。ST-PINN 从解的表示方式入手，探索能否先为时间维度提供明确基底，再让网络集中学习空间上的复杂性。

将时空联合拟合改写为结构化分解

项目将时变 PDE 的解近似为一组“空间系数 × 时间基函数”的求和：u(x,t) ≈ Σ Cᵢ(x;θ)Tᵢ(t)。其中，神经网络只负责输出空间系数，时间部分由预先选择的基函数表达。当前代码实现了两类时间基：

• 多项式基适合描述平滑、逐步变化的时间过程。
• Fourier 基通过线性或指数分布的频率表示周期、多尺度和快速变化的动态。

这种设计并不是简单地把输入拆成两个网络，而是让“时间如何变化”成为显式可控的模型假设。研究者可以调整多项式阶数、频率数量与分布，观察不同先验对 PDE 残差、边界条件和最终误差的影响。

从独立实验到 PINNacle 基准环境

仓库包含扩散方程、热方程、Burgers 方程和 Allen–Cahn 方程的训练脚本，每次实验都会保存配置、损失日志、预测结果和误差图，便于复现与横向比较。Burgers 实验还加入学习率调度和梯度裁剪，用于应对激波附近更不稳定的训练过程。

项目进一步将多项式和 Fourier 时空分解网络接入 PINNacle / DeepXDE 风格的模型接口，使空间输入可以扩展到多维，并支持多输出 PDE。仓库中准备了热传导、波动、Navier–Stokes、Gray–Scott 等实验入口与可视化流程，为比较标准全连接 PINN 和时空分解架构提供了更大的测试场。

适合怎样的研究问题

ST-PINN 更适合作为研究原型和实验平台，而不是直接替代成熟数值软件。它适合关注时变 PDE、谱基表示、长时间动力学和 PINN 表达能力的研究者，也适合用于课程实验，帮助直观看到“解的表示假设”如何影响训练。

它的价值不只是提供两个新的网络类，更是提出一种可继续扩展的思路：如果已知问题具有周期性、衰减性或多尺度时间结构，就不必要求黑盒网络重新发现全部规律。未来可以沿着可学习频率、小波基、自适应基选择或分阶段时间域继续发展，在物理先验与神经网络灵活性之间寻找更合适的平衡。